Rangkuman beserta contoh soal semua meteri matematika minatt

Rumus Trigonometri untuk Jumlah dan Selisih Dua Sudut

Sebelum kita masuk ke dalam rumusnya, kita perlu ingatkan kembali rumus segitiga siku-siku ABC sebagai berikut.

Rumus di atas sering kita ingat menjadi Sin = DeMi (Depan per Miring), Cos = Sami (Samping per Miring), Tan = Desa (Depan per Samping). Rumus segitiga inilah yang nantinya akan menjadi modal awal dari rumus trigonometri. Kemudian perhatikan gambar di bawah ini.

Dari lingkaran yang berpusat di O(0,0) dan berjari-jari 1 satuan maka,

⦟AOB = ⦟A

⦟BOC = ⦟B

maka ⦟DOC = ⦟A + ⦟B

Dengan menggunakan koordinat kartesian, maka koordinat titik A, B, C, dan D menjadi:

a. Koordinat di A (1, 0)

b. Koordinat di B (cos A, sin A)

c. Koordinat di C {cos (A+B), sin (A+B)}

d. Koordinat di D {cos (-B), sin (-B)} atau (cos B, -sin B)

Persamaan di atas akan kita gunakan untuk mencari rumus sin, cos, dan tan dari jumlah dan selisih dua sudut. Rumus yang digunakan dalam trigonometri jumlah dan selisih dua sudut secara matematis dapat dituliskan sebagai berikut.

Rumus di atas sudah bisa kalian gunakan untuk mencari nilai dari sudut sin, cos, dan tan yang ada di luar sudut-sudut istimewa. Nanti kita akan berikan nilai-nilai dari sudut istimewa, sekarang kita akan bahas dari mana asal dari rumus jumlah dan selisih dua sudut sin, cos, dan tan. Tetapi tidak semua kita bahas ya. Nanti teman Sains Seru bisa mencobanya sendiri untuk yang lain.

Jika dilihat dari koordinat diatas kita bisa buat seperti dibawah ini.

Ingat → (A + B)² = A² + 2AB + B²

              (A - B)² = A² - 2AB + B²

              sin² A + cos² A = 1

AC = BD, maka AC² = BD² jika dimasukkan ke dalam persamaan koordinat menjadi:

{cos (A + B) - 1}² + {sin (A + B) -0}² = {cos B - cos A}² + {-sin B - sin A}²

{cos² (A + B) - 2 cos (A + B) + 1} + {sin² (A + B) - 0 + 0} = {cos² B - 2 cos A cos B + cos² A} + {sin² B + 2 sin B sin A + sin² A}

cos² (A + B) - 2 cos (A + B) + 1 + sin² (A + B) = cos² B - 2 cos A cos B + cos² A + sin² B + 2 sin B sin A + sin² A

cos² (A + B) + sin² (A + B) + 1 - 2 cos (A + B) = cos² B + sin² B + cos² A + sin² A - 2 cos A cos B + 2 sin B sin A 

1 + 1 - 2 cos (A + B) = 1 + 1 - 2 cos A cos B + 2 sin B sin A

      2 - 2 cos (A + B) = 2 - 2 cos A cos B + 2 sin B sin A

 2 - 2 - 2 cos (A + B) = - 2 cos A cos B + 2 sin B sin A

         - 2 cos (A + B) = - 2 cos A cos B + 2 sin B sin A → dikali (-½)

              cos (A + B) = cos A cos B - sin B sin A

Oke selanjutnya kita akan berikan juga nilai-nilai dari sudut istimewa, agar nanti kita bisa menjawab soal dari sin, cos, dan tan tanpa menggunakan kalkulator. Tabel nilai sudut istimewa adalah sebagai berikut.

Contoh 1.

Diketahui cos A = 5/13 dan sin B = 24/25, sudut A dan B lancip. Hitunglah cos (A + B).

Jawab

Kita bisa menggunakan rumus penjumlahan cos dan nilai dari sudut lancip di atas untuk membantu menjawabnya. Kurang lebih jawabannya sebagai berikut

Contoh 2.

Tanpa menggunakan kalkulator, hitunglah nilai dibawah ini.

a. sin 15⁰

b. tan 75⁰

Jawab

a. Kita bisa menggunakan rumus sin dan nilai dari sudut istimewa di atas untuk membantu menjawabnya. Kurang lebih jawabannya sebagai berikut.

aKumpulan soal dan Pembahasan Semua materi Trigonometri (lain team)

Nama : Thusy siti reihani

Kelas : XI IPA 1

No.Absen:33

Tugas: Kumpulan soal dan Pembahasan dari Semua Materi Trigonometri

✦• • ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ • • ✦

1.) Tentukan himpunan penyelesaian 

      sin x = 1/2 √3 untuk 0 ≤ x ≤ 360°!

Pembahasan :

sin x = 1/2 √3 (untuk 0 ≤ x ≤ 360°)

sin x = sin 60° maka:

a.) x = 60° + k ⋅ 360°

 • k = 0 → x = 60° + 0 ⋅ 360° = 60°

 • k = 1 → x = 60° + 1 ⋅ 360° = 420° (tidak memenuhi karena 0 ≤ x ≤ 360°)

b.) x = (180° – 60°) + k ⋅ 360°

 • k = 0 → x = 120° + 0 ⋅ 360° = 120°

 • k = 1 → x = 120° + 1 ⋅ 360° = 480° (tidak memenuhi karena 0 ≤ x ≤ 360°)

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {60°,120°}.

2.Tentukanlah himpunan penyelesaian dari cos 5x = 1/2 √2 untuk 0° < x < 180°

Jawab:

cos 5x = 1/2 √2

cos 5x = cos 45°

1.) 5x = 45° + k . 360°

x = 9° + k . 72°

• k = 0→ x = 9° + 0 . 72° = 9°

• k = 1→ x = 9° + 1 . 72° = 81°

• k = 2→ x = 9° + 2 . 72° = 153°

2.) 5x = -45° + k . 360°

x = -9° + k . 72°

• k = 1→ x = -9° + 1 . 72° = 63°

• k = 2→ x = -9° + 2 . 72° = 135° 

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {9, 63, 81, 135, 153}.

3. Diketahui cos A = 5/13 dan sin B = 24/25 , sudut A dan B lancip. Hitunglah cos (A + B) dan

cos (A – B).

Penyelesaian:

cos A = 5/13 , maka sin A = 12/13

sin B = 24/25 , maka cos B = 7/25

cos (A + B) = cos A⋅ cos B – sin A⋅ sin B

                   = 5/13 ⋅ 7/25 – 12/13 ⋅ 24/25

                   = 35/325 − 288/325

                   = − 253/325

cos (A – B) = cos A⋅ cos B + sin A⋅ sin B

                   = 5/13 ⋅ 7/25 + 12/13 ⋅ 24/25

                   = 35/325 + 288/325        

                   = 323/325

4. Jika tan 5°= p. 

Tentukan :

tan 50°

Penyelesaian :

tan 50° = tan (45° + 5°)

= tan 45° + tan 5°/1 – tan 45° x tan 5°

= 1 + p/1 – p

Maka, hasilnya adalah = 1 + p/1 – p

5..Tentukan nilai dari cos 160° + cos 75°

penyelesaian:

disini kita menggunakan rumus bagian c yaitu:

 cos A + cos B = 2 cos 1/2 (A + B) cos 1/2 (A - B)

cos 160° + cos 75° = 2.cos1/2 (160° + 75°). cos 1/2(160° + 75°)

                               = 2.cos120°.sin45°

                               = 2.(-1/2)(1/2√ 2)

                               = -1/2√ 2

Jadi jawabannya adalah= -1/2√ 2